Question

动点E在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC上，F是CD的中点，则二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范围是（　　）

• A、（0，

  6

  6

  ）
• B、（

  6

  6

  ，1）
• C、（0，

  7

  7

  ）
• D、（0，

  30

  6

  ）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范围．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
设CE=t（0＜t＜2），
则F（0，1，0），C₁（0，2，2），E（t，2，0），

C1F

=（0，-1，-2），

C1E

=（t，0，-2），
由题意得平面EFC的法向量

m

=（0，0，1），
设平面C₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • C1F =-y-2z=0 n • C1E =tx-2z=0

，
t=0时，

n

=（1，0，0），cos＜

m

，

n

＞=0；
t=2时，

n

=（1，-2，1），cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

．
∴二面角C₁-EF-C的余弦值的取值范围是（0，

6

6

）．
故选：A．

点评：本题考查二面角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．