Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知 ． （Ⅰ）若b= ，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；
（Ⅱ）设 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵1﹣ = = = ，化简可得：a2+c2﹣b2=ac，则 =1， ∴cosB= = ，
又∵B∈（0，π），
∴B=
∵由正弦定理可得： ，
∴△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA+ +2sin（ ﹣A）
=3sinA+ cosA+ =2 sin（A+ ）+ ，
∵0 ，
∴ ＜A+ ＜ ，当A+ = 时，即A= 时，△ABC周长l取最大值3 ，由此可以得到△ABC为等边三角形，
∴S△ABC=
（Ⅱ）∵ =6sinAcosB+cos2A=3sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，
∵0 ，
∴0＜sinA≤1，
当sinA= 时， 取得最大值 ，
∴ 的取值范围为（1， ]
【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得：a2+c2﹣b2=ac，利用余弦定理可得cosB= ，又B∈（0，π），可求B的值，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2 sin（A+ ）+ ，由0 ，可得 ＜A+ ＜ ，当A+ = 时，即A= 时，△ABC周长l取最大值3 ，可得△ABC为等边三角形，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）利用平面向量的数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得 =﹣2（sinA﹣ ）2+ ，由范围0 ，可求0＜sinA≤1，利用二次函数的图象和性质即可解得 的取值范围．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．