Question

（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥中，平面，，

，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：∵平面，∴。

∵，是的中点

∴为△中边上的高，

∴。

∵，

∴平面。……………………6分

（2）方法1：延长DA、CB相交于点F，连接PF、DB

过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接HE

由（1）知平面，则PH⊥BC

又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角……………9分

在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面，，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4

∵，∴AB＝2，∴BD＝，

∴AB是△FCD的中位线，FD＝CD

∴BD⊥CF

∴HE＝

∵PH＝1，∴……………14分

    

方法2：由（1）知平面，如图建立空间直角坐标系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面，，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4

∴

设平面BCD、平面PBC的法向量分别为

则，设

∵，令，则

，设二面角P－BC－D为，

则，故

 

【解析】本试题主要是考查了线面垂直和二面角的求解的综合运用。

（1）因平面，∴。∵，是的中点

∴为△中边上的高，∴。∵，

∴平面

（2）延长DA、CB相交于点F，连接PF、DB过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接HE

由（1）知平面，则PH⊥BC又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角，然后利用解三角形得到结论。