题目内容
【题目】已知函数,
,且
与
的图象有一个斜率为1的公切线(
为自然对数的底数).
(1)求;
(2)设函数,讨论函数
的零点个数.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)由与
的图象有一个斜率为1的公切线,分别对
与
求导并求出切线方程,列出等量关系可得
;
(2)利用换元将转化为二次函数,分类讨论对其单调性,对图像特点进行分析,分情况讨论出函数
的零点个数.
(1)可得
.
在
处的切线方程为
,
即.
.
在
处的切线方程为
,
故
可得.
(2)由(1)可得,
,
令,则
,
,
时,
有两根,
且
,
,
得:,
在上,
,
在上,
,
此时,.
又时,
时,
.
故在和
上,
各有1个零点.
时,
最小值为
,故
仅有1个零点.
时,
.
其中,同
,
在
与
上,
各有1个零点,
时,
,仅在
有1个零点,
时,对方程
.
方程有两个正根,
.
在上,
,在
上,
,在
,
.
由,可得
,
故.
,
故.
故在上,
,
在上,
,
在上,
有1个零点:
.
时,
恒成立,
为增函数,
仅有1个零点:
.
综上,或
时,
有1个零点,
或
时,
有2个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.(表中)
平均温度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均产卵数 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
(1)根据散点图判断,与
(其中
自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为.
①记该地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率为,求
的最大值,并求出相应的概率p.
②当取最大值时,记该地今后5年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.
附:线性回归方程系数公式.