题目内容
15．证明：（1）函数f（x）=x2+1在（-∞，0）上是减函数；
（2）函数f（x）=1-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）上是增函数．
分析 （1）运用单调性的定义得出f（x1）-f（x2）=x12+1-x22-1=（x1+x2）（x1-x2）．判断因式得出f（x1）＞f（x2）即可证明．
（2）代入得出f（x1）-f（x2）=1$-\frac{1}{{x}_{1}}$-1$+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$．判断因式符号，结合单调性的定义判断即可．
解答 证明：（1）设任意实数x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）=x12+1-x22-1=（x1+x2）（x1-x2）．
∵任意实数x1＜x2＜0，
∴（x1+x2）＜0，（x1-x2）＜0．
即f（x1）-f（x2）＞0，
f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）=x2+1在（-∞，0）上是减函数；
（2）设任意实数x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）=1$-\frac{1}{{x}_{1}}$-1$+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
任意实数x1＜x2＜0，
∴（x1•x2＞0，（x1-x2）＜0．
即f（x1）-f（x2）＜0，
f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=1-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）上是增函数．
点评 本题考查了函数的单调性的定义，关键是恒等变形必需彻底，判断符号即可得出单调性，属于容易题．
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4．下列说法正确的是（ ）
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