题目内容

设函数
(1)若曲线轴相切于异于原点的一点,且函数的极小值为,求的值;
(2)若,且
①求证:; ②求证:上存在极值点.
(1) .  (2) 上是存在极值点

试题分析:
(1)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.
(2) ①对求导,带入与已知条件联立化简即可得到需要的不等式.
②求出,讨论a的取值范围,证明其中必有两者异号,则根据零点存在定理,即可证明有极值点.
试题解析:
(1)
依据题意得:,且.             2分
,得
如图,得,

代入.              4分

(2)①

.           8分

,则,由①知
所以有零点,从而上存在极值点.          10分
,由①知;

所以有零点,从而上存在极值点.……12分
,由①知
所以有零点,从而上存在极值点.
综上知上是存在极值点.                 14分
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