题目内容

【题目】在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如表1.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡为优等品,寿命小于300天的灯泡为次品,其余的灯泡为正品.

1

寿命(天)

频数

频率

20

0.10

30

a

70

0.35

b

0.15

50

0.25

合计

200

1

(1)根据表1中的数据,写出a、b的值;

(2)某人从灯泡样品中随机地购买了个,若这n个灯泡的等级情形恰与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;

(3)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1) (2)4 (3)分布列见解析,期望为

【解析】

(1)由题意可得:,由可得.

2)由表1知灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个.

于是,优等品、正品和次品的比例为:50:100:50=1:2:1.

所以,按分层抽样法,购买灯泡数为:.

从而,的最小值为4.

(3) 的所有取值为0、1、2、3.

由题意,知购买一个灯泡,且此灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25.

从这批次灯泡中购买3个,可看成3次独立重复试验,于是,

.

所以,随机变量的分布列如表2.

2

0

1

2

3

从而,的数学期望为:

.

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