题目内容
【题目】如图,四面体ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=
,O是AC的中点,E是BD的中点.
(1)证明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
【答案】(1)见解析;
(2).
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质得到,在根据面面垂直的性质定理,证得
平面
.
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面
和平面
的法向量,计算出二面角
的余弦值.
(1)证明:∵ AD=CD=,O是AC的中点,
∴ DO⊥AC.
∵ 平面DAC⊥底面ABC,平面DAC∩底面ABC=AC,
∴ DO⊥底面ABC.
(2)解:由条件易知DO⊥BO,BO⊥AC.
OA=OC=OD=2, OB=
如图,以点O为坐标原点,OA为x轴, OB为y轴,OC为z轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
,
,
.
设平面ADE的一个法向量为,
则 即
令,则
,所以
.
同理可得平面AEC的一个法向量.
.
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.

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