Question

17．求函数f（x）=|x|（x-a）（a≤0）在x∈[-1，2]时的最小值．

Answer 1

分析 讨论当0≤x≤2时，f（x）的解析式，求得最小值为0，再求当-1≤x≤0时，f（x）的解析式，配方，讨论对称轴和区间的关系，对a讨论，结合单调性，即可得到最小值．

解答 解：当0≤x≤2时，f（x）=x（x-a）=x²-ax
=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$，对称轴x=$\frac{a}{2}$≤0，
[0，2]为增区间，x=0取得最小值，即为0；
当-1≤x≤0时，f（x）=-x（x-a）
=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
若$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2，区间[-1，0]为减区间，
则f（0）最小，且为0；
若-1＜$\frac{a}{2}$≤0，即-2＜a≤0，则f（x）的最小值为f（-1）和f（0）中较小的．
由f（-1）=-1-a，当-2＜a＜-1时，f（x）的最小值为0；
当-1≤a≤0时，f（x）的最小值为f（-1）=-1-a．
综上可得，当a＜-1时，f（x）在[-1，2]的最小值为0；
当-1≤a≤0时，f（x）在[-1，2]的最小值为-1-a．

点评 本题考查含绝对值函数的最值求法，考查二次函数的最值求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．