Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+b满足f（1）=0，且在x=2时函数取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

∵函数f（x）在x=2时函数取得极值，

∴f′（2）=0，即12+4a=0，

∴a=﹣3，

又∵f（1）=1﹣3+b=0，

∴b=2，

综上a=﹣3、b=2

（2）解：由（1）可知f（x）=x3﹣3x2+2，

∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），

∵x＜0时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

∵0＜x＜2时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，2）上单调递减；

∵x＞2时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；

∴函数f（x）的单调递减区间为：（0，2），

单调递增区间为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）

（3）解：令f（x）=f（0），即x3﹣3x2+2=2，

解得：x=0或x=3，

∵函数f（x）在（0，2）上单调递减，

∴当t∈（0，2]时，g（t）=f（0）=2；

∵函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，且f（3）=f（0）=2，

∴当t∈（2，3]时，g（t）=f（3）=2；

当t∈（3，+∞）时，g（t）=f（t）=t3﹣3t2+2；

综上所述，g（t）= ．

【解析】（1）通过f′（2）=0及f（1）=0，计算即得结论；（2）通过对函数f（x）=x3﹣3x2+2求导，进而可判断单调区间；（3）通过函数在[0，+∞）上的单调性，结合最值的概念，画出草图，计算即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．