题目内容
【题目】已知函数
有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数.
（1）已知
，
，
，利用上述性质，求函数
的单调区间和值域.
（2）对于（1）中的函数和函数
，若对于任意的
，总存在，使得
成立，求实数
的值.
【答案】（1）递减区间为
，递增区间为
，值域为
；（2）
【解析】
（1）把函数解析式中的分母变形为
，利用分式的计算公式，函数解析式变形为
，用
进行换元，得到新解析式为
这样根据已知所给的函数性质可以求出函数
的单调区间和值域.
（2）由题意可知的值域为
的值域的子集，这样可以求出实数
的值.
（1），
设，
，则
，则，
，由已知性质得，
当
，即
时，单调递减，所以递减区间为，
当
，即
时，单调递增，所以递增区间为，
由
，
，
，
得的值域为.
（2）由于
为减函数，故
，
，由题意，的值域为的值域的子集，从而有
所以.
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