题目内容
20．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，有下列结论：（1）b2＞3ac；（2）a•f′（x）＞0；（3）a•f′（x3）＞0；（4）x1+x2+x3=-$\frac{b}{a}$ 其中正确命题的个数共有（ ）| A． | 4个 | B． | 3个 | C． | 2个 | D． | 1个 |
分析 （1）若有三个不同的零点，则原函数必有两个不等的极值点，故导函数的判别式大于零；
（2）显然不成立，可以举个反例；
（3）可以结合函数的图象加以分析；
（4）可以借助于函数的零点式解析式进行分析．
解答 解：（1）若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有三个不同零点，则该函数必有两个极值点，所以f（x）=3ax2+2bx+c=0有两个不同的根，所以△=（2b）2-12ac＞0，即b2＞3ac．故（1）正确；
（2）令f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）=x3-6x2+11x-6，所以af′（x）=3x2-12x+11，该函数的判别式△=12＞0，故af′（x）的值有正有负，故（2）错误；
（3）由题意可作出函数图象如下：a＜0时：
此时f′（x3）＜0，故af′（x3）＞0．
同理可知，当a＞0时，f′（x3）＞0，则af′（x3）＞0．所以（3）正确；
（4）令f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）=$a{x}^{3}-a（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}）{x}^{2}+$a（x1x2+x2x3+x1x3）x-ax1x2x3．
结合f（x）=ax3+bx2+cx+d可知，b=-a（x1+x2+x3），所以${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=-\frac{b}{a}$．故（4）正确．
故选B
点评 本题考查了命题真假判断方法，同时重点考查了利用函数的图象研究函数性质的思想方法．
练习册系列答案
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