题目内容
18.设抛物线C:y2=x与直线l交于A,B两点(异于原点O),以AB为直径的圆恰好经过原点O.(Ⅰ)求证:直线l过定点.
(Ⅱ)求△OAB面积的最小值.
分析 (Ⅰ)设l方程为x=ty+m与抛物线方程联立得y2-ty-m=0,利用以AB为直径的圆过原点,即x1x2+y1y2=0,从而求出直线l过定点.
(Ⅱ)△OAB面积为$\frac{1}{2}$|y1-y2|,即可求△OAB面积的最小值.
解答 (Ⅰ)证明:设l方程为x=ty+m联立y2=x得y2-ty-m=0,
设A(x1,y1)、B(x2,y2)则y1+y2=t,y1y2=-m
∴x1x2=m2
∵以AB为直径的圆过原点,∴x1x2+y1y2=0,∴m2-m=0,∴m=1,
∴直线l过定点(1,0).
(Ⅱ)解:设C(1,0),则
△OAB面积为$\frac{1}{2}$|y1-y2|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+4}$,
∴t=0时,△OAB面积的最小值为1.
点评 本题主要考查抛物线的简单性质,考查恒过定点问题,考查三角形面积的计算,注意挖掘题目隐含,将问题等价转化.
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