题目内容
三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱和底面所成的角都相等,则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的( )A.外心和内心
B.内心
C.垂心
D.外心和垂心
【答案】分析:如图,三棱锥的顶点P在平面ABC上的射影为O,利用已知条件侧棱和底面所成的角都相等,证明△PAO≌△POB≌△POC,从而得到OA=OB=OC;又根据三棱锥的三条侧棱两两垂直,一条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边,过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据线面垂直定理得到底面的高线,得到垂心.由此推出结论.
解答:解:设顶点P在平面ABC的射影O,如图连接OA,OB,OC,
∵侧棱和底面所成的角都相等,
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO,
∵PO⊥底面ABC,
PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC,
所以O为三角形的外心.
又三棱锥的三条侧棱两两垂直,
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面,
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边,
过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据线面垂直定理得到底面的高线,
∴射影必是底面三角形的垂心,
故选D.
点评:本题考查棱锥的结构特征,考查逻辑思维能力和空间思维能力,是基础题.
解答:解:设顶点P在平面ABC的射影O,如图连接OA,OB,OC,
∵侧棱和底面所成的角都相等,
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO,
∵PO⊥底面ABC,
PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC,
所以O为三角形的外心.
又三棱锥的三条侧棱两两垂直,
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面,
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边,
过顶点向底面做垂线,连接底面顶点和垂足,根据线面垂直定理得到底面的高线,
∴射影必是底面三角形的垂心,
故选D.
点评:本题考查棱锥的结构特征,考查逻辑思维能力和空间思维能力,是基础题.
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