Question

8．下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
（2）请根据散点图，判断y与x之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}=\stackrel{∧}{b}x+\stackrel{∧}{a}$；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
（参考数值：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=112.3$ $\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=80$）
（参考公式：$\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$；$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$；）

Answer 1

分析 （1）由题意易得散点图：
（2）由已知数据求出$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=90，结合参考数据可得$\widehat{b}$和$\widehat{a}$，可得回归直线方程；
（3）把x=10代入（2）中的方程计算可得；

解答 解：（1）由题意可得散点图如图：
（2）从散点图可知，变量y与x之间有较强的线性相关性．
由已知数据有：$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=90，
又由参考数据知$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=112.3$ 
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，
∴$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=5-1.23×4=0.08，
∴回归直线方程为$\widehat{y}$=1.23x+0.08；
（3）当x=10时，维修费用$\widehat{y}$=1.23×10+0.08=12.38（万元）

点评 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属基础题．