题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
,抛物线
的焦点F是椭圆
的顶点.
(1)求与
的标准方程;
(2)上不同于F的两点P,Q满足以PQ为直径的圆经过F,且直线PQ与
相切,求
的面积.
【答案】(1):
,
:
;(2)
【解析】
(1)直接根据焦距和离心率计算得到椭圆方程,再根据抛物线焦点得到抛物线方程.
(2)联立方程根据韦达定理得到,
,根据
得到
,
,再计算面积得到答案.
(1)设椭圆的焦距为
,依题意有
,
,解得
,
,
故椭圆的标准方程为
.
又抛物线开口向上,故F是椭圆
的上顶点,
,
,故抛物线
的标准方程为
.
(2)显然直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为,
设,
,则
,
,
因为以PQ为直径的圆经过F,
即 ①
联立,消去y整理得,
②
依题意,,
是方程②的两根,
,
,
,
将和
代入①得
,
解得,(
时直线PQ过点F,不合题意,应舍去)
联立,消去y整理得,
,
令,解得
.
经检验,,
符合要求.
此时,,
.
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