Question

【题目】设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，求函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数．

Answer 1

【答案】函数y＝f（x）与y＝x图象可能没有交点也可能有无数个

【解析】

根据函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，可以得到

f（x）＝f（x–1）+1＝f（x–2）+2＝…＝f（0）+x，根据f（0）不同取值进行分类讨论，最后判断出函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数．

∵f（x+1）＝f（x）+1，

∴f（x）＝f（x–1）+1＝f（x–2）+2＝…＝f（0）+x，

若f（0）＝0，则函数y＝f（x）与y＝x图象重合，有无穷个交点；

若f（0）≠0，则函数y＝f（x）与y＝x图象平行，无交点．

∴函数y＝f（x）与y＝x图象可能没有交点也可能有无数个．