Question

【题目】已知数列{an}，{bn}分别满足a1=1，|an+1﹣an|=2，且 |=2，其中n∈N* ， 设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn ， Tn ．
（1）若数列{an}，{bn}都是递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1 ， 则称数列{cn}为“k坠点数列”． ①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn；
②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m使得Sm+1=Tm？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}，{bn}都为递增数列，

∴由递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1=2，bn+2=2bn+1，n∈N*，

则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列．

∴an=2n﹣1，bn=

（2）解：①∵数列{an}满足：存在唯一的正整数k=5，使得ak＜ak﹣1，且|an+1﹣an|=2，

∴数列{an}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，

即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，

故Sn= ；

②∵| |=2，即bn+1=±2bn，

∴|bn|=2n﹣1，

而数列{bn}为“q坠点数列”且b1=﹣1，

∴数列{bn}中有且只有两个负项．

假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，

而{an}中各项均为奇数，

∴m必为偶数．

由Sm+1≤1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，

当q＞m时，Tm=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3，

当m≥6时，2m﹣3＞（m+1）2，故不存在正整数m使得Sm+1=Tm；

当q=m时，Tm=﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，

显然不存在正整数m使得Sm+1=Tm；

当q＜m时，∴（Tm）min=﹣1+21+…+2m﹣3+（﹣2m﹣2）+2m﹣1=2m﹣1﹣3．

当2m﹣1﹣3＜（m+1）2，才存在正整数m使得Sm+1=Tm；

即m≤6．

当m=6时，q＜6，

构造：{an}为1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…

此时p=3，q=5．

∴mmax=6，对应的p=3，q=5

【解析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；（2）①根据题目条件判断：数列{an}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，求解Sn即可．②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，综合判断数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，可得m必为偶数．再讨论q＞m，q=m，q＜m，证明m≤6，求出数列即可．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．