题目内容

【题目】已知数列{an},{bn}分别满足a1=1,|an+1﹣an|=2,且 |=2,其中n∈N* , 设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn , Tn
(1)若数列{an},{bn}都是递增数列,求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数k(k≥2),使得ck<ck﹣1 , 则称数列{cn}为“k坠点数列”. ①若数列{an}为“5坠点数列”,求Sn
②若数列{an}为“p坠点数列”,数列{bn}为“q坠点数列”,是否存在正整数m使得Sm+1=Tm?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵数列{an},{bn}都为递增数列,

∴由递推式可得an+1﹣an=2,b2=﹣2b1=2,bn+2=2bn+1,n∈N*

则数列{an}为等差数列,数列{bn}从第二项起构成等比数列.

∴an=2n﹣1,bn=


(2)解:①∵数列{an}满足:存在唯一的正整数k=5,使得ak<ak﹣1,且|an+1﹣an|=2,

∴数列{an}必为1,3,5,7,5,7,9,11,…,

即前4项为首项为1,公差为2的等差数列,从第5项开始为首项5,公差为2的等差数列,

故Sn=

②∵| |=2,即bn+1=±2bn

∴|bn|=2n﹣1

而数列{bn}为“q坠点数列”且b1=﹣1,

∴数列{bn}中有且只有两个负项.

假设存在正整数m,使得Sm+1=Tm,显然m≠1,且Tm为奇数,

而{an}中各项均为奇数,

∴m必为偶数.

由Sm+1≤1+3+…+(2m+1)=(m+1)2

当q>m时,Tm=﹣1+2+4+…+2m﹣2+2m﹣1=2m﹣3,

当m≥6时,2m﹣3>(m+1)2,故不存在正整数m使得Sm+1=Tm

当q=m时,Tm=﹣1+21+…+2m﹣2+(﹣2m﹣1)=﹣3<0,

显然不存在正整数m使得Sm+1=Tm

当q<m时,∴(Tmmin=﹣1+21+…+2m﹣3+(﹣2m﹣2)+2m﹣1=2m﹣1﹣3.

当2m﹣1﹣3<(m+1)2,才存在正整数m使得Sm+1=Tm

即m≤6.

当m=6时,q<6,

构造:{an}为1,3,1,3,5,7,9,…,{bn}为﹣1,2,4,8,﹣16,32,64,…

此时p=3,q=5.

∴mmax=6,对应的p=3,q=5


【解析】(1)由两数列为递增数列,结合递推式可得an+1﹣an=2,b2=﹣2b1,bn+2=2bn+1,n∈N*,由此可得数列{an}为等差数列,数列{bn}从第二项起构成等比数列,然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案;(2)①根据题目条件判断:数列{an}必为1,3,5,7,5,7,9,11,…,即前4项为首项为1,公差为2的等差数列,从第5项开始为首项5,公差为2的等差数列,求解Sn即可.②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1,综合判断数列{bn}中有且只有两个负项.假设存在正整数m,使得Sm+1=Tm,显然m≠1,且Tm为奇数,而{an}中各项均为奇数,可得m必为偶数.再讨论q>m,q=m,q<m,证明m≤6,求出数列即可.
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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