题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中,A(2,4),B(﹣1,2),C,D为动点,
(1)若C(3,1),求平行四边形ABCD的两条对角线的长度
(2)若C(a,b),且 ,求
取得最小值时a,b的值.
【答案】
(1)解: =(1,﹣3),
=(3,2).
=
=
.
由平行四边形的性质可得: =
,可得
=
+
=(6,3).
∴ =(7,1),可得:
=
=5
.
(2)解:C(a,b),且 ,∴
=
+(3,1)=(a+3,b+1).
∴ =(a+4,b﹣1).
=(a﹣2,b﹣4).
∴ =(a﹣2)(a+4)+(b﹣4)(b﹣1)=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4
=(a+1)2+ ﹣
≥
,当且仅当a=﹣1,b=
时取等号.
【解析】(1) =(1,﹣3),
=(3,2).可得
.由平行四边形的性质可得:
=
,可得
=
+
.可得
.(2)C(a,b),且
,可得
=
+(3,1),可得
=(a+4,b﹣1).
=(a﹣2,b﹣4).利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出.
【考点精析】本题主要考查了平面向量的坐标运算的相关知识点,需要掌握坐标运算:设,
则
;
;设
,则
才能正确解答此题.
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