题目内容
【题目】已知椭圆方程,其左焦点、上顶点和左顶点分别为
,
,
,坐标原点为
,且线段
,
,
的长度成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过点的一条直线
交椭圆于点
,
,交
轴于点
,使得线段
被点
,
三等分,求直线
的斜率.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
或
.
【解析】试题分析: (Ⅰ)由线段,
,
的长度成等差数列,以及
,可求得离心率; (Ⅱ)设直线
的方程为
,先研究
的情况,根据
,求出
将直线
的方程和椭圆方程联立求出点
的横坐标,根据对称性可知直线
的斜率.
试题解析:(Ⅰ)依题意有,
把上式移项平方并把,代入得
,
所以椭圆的离心率.
(Ⅱ)设直线的方程为
,先研究
的情况,要使
,
则,
,
因此.
将直线的方程和椭圆方程联立可得
解得
由于点的横坐标为
,因此
也等于
,
由对称性可知直线的斜率为
或
.
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