题目内容

已知函数的定义域为,若上为增函数,则称 为“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”,求证:
(Ⅲ)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解.

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小题关键是先得到
(Ⅲ)本小题要结合(Ⅱ)的结论来证明。

解析试题分析:解:(I)由题是增函数,
由一次函数性质知
时,上是增函数,
所以 
(Ⅱ)因为是“一阶比增函数”,即上是增函数,
,有
所以                
所以
所以   
所以                              
(Ⅲ)设,其中.
因为是“一阶比增函数”,所以当时,
,满足,记
由(Ⅱ)知,同理
所以一定存在,使得
所以一定有解                             
考点:函数的单调性
点评:证明函数在区间上为增(减)函数的方法是:令,若
),则函数为增(减)函数。

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