Question

已知幂函数的图象与x轴，y轴无交点且关于原点对称，又有函数f(x)=x²－alnx+m－2在(1，2]上是增函数，g(x)=x－在(0,1)上为减函数.
①求a的值；
②若，数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝p(a_n)，（n∈N₊），数列{b_n}，满足，，求数列{a_n}的通项公式a_n和s_n.
③设，试比较[h(x)]ⁿ+2与h(xⁿ)+2ⁿ的大小（n∈N₊），并说明理由.

Answer 1

①;②；;③见解析.

解析试题分析：①由幂函数的定义和性质可以知道的取值集合，由图像关于原点对称的函数是奇函数可以确定的值，将的值代入，的解析式后，根据函数的单调性与导函数的关系以及不等式的恒成立问题的解法就可以知道满足的不等式，就可以解得的值；②先由已知条件求出的解析式，然后得出，的关系，由函数构造的方法可以求得的解析式，代入即可，再由数列求和公式求得的值；③先求出的解析式，再由相减的方法来判断两个式子的大小，最后减得的结果和0比较即可，注意分类讨论的思想.
试题解析：①幂函数的图像与轴，轴无交点，则有，解得
又，∴或,
又幂函数的图像关于原点对称，则有幂函数是奇函数,
当时，是偶函数，不合题意，舍去,
当时，是奇函数，∴,
∴，求导得,
又∵在上是增函数，∴在上恒成立,
解得,
又∵，在上为减函数,
∴在上恒成立,
解得,
综上知；                                   ..3分
②∵,
∴∴∴∴,
∴是首项为公比的等比数列,
∴解得,
∴,
∴,
；           .6分
③∵,
当时，,
当时，
＝
＝
＝
＝
,
.                             10分
考点：函数的单调性与导函数的关系，奇函数图像的性质，等比数列的构造.