Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求斜率为2的弦中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出弦的中点M，端点A，B的坐标，通过三点坐标的关系，把A，B的坐标代入椭圆方程后作差，代入直线l的斜率整理后即可得到答案；

解答 解：设斜率为2的弦中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵M为弦AB的中点，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，②
②-①得，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$．
∴$-\frac{x}{2y}=2$，整理得：x+4y=0．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ x+4y=0\end{array}\right.$，解得x=$±\frac{8}{3}$
所求轨迹方程为：x+y=0．（-$\frac{8}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$）
∴点P的轨迹方程为：x+4y=0（-$\frac{8}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$）；

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”，涉及中点弦问题．利用点差法能起到事半功倍的作用，该题是中档题．