题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
垂直平面
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ) 证明:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明 (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)可证 平面
,从而得到平面
平面
.
(Ⅱ)在平面内过
作
的垂线,垂足为
,由(1)可知
平面
,从而
就是所求的线面角,利用解直角三角形可得其正弦值.
(Ⅰ)证明: 平面
,
平面
, 故
.
又,所以
. 故
,即
,而
,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)平面
,
平面
, 故
.又
,所以
.
在平面内,过点
作
,垂足为
.
由(Ⅰ)知平面平面
,
平面
,平面
平面
所以
平面
.
由面积法得:即.
又点为
的中点,
.所以
.
又点为
的中点,所以点
到平面
的距离与点
到平面
的距离相等.
连结交
于点
,则
.
所以点到平面
的距离是点
到平面
的距离的一半,即
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
另解:如图,取的中点
,如图建立坐标系.
因为,所以
.所以有:
,
,
,
,
,
.
.
,
.
设平面的一个法量为
,则
取,得
,
.即
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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