题目内容
【题目】已知直线
与椭圆
相交于
两点.
（1）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段
的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆的长轴长的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于
的一元二次方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得；
（2）设
，由向量
与向量
互相垂直可得
，同时联立直线与椭圆方程可得
，消去
得：
，结合韦达定理和前式代换，最终可整理得
，结合
即可得到关于
的不等式，进而求出长轴长的范围
（1）
,即
，
，则
.
∴椭圆的方程为
，联立
消去得：，
设，则
.
；
（2）设，
，即，
由消去得
，
由
，
整理得
.
又
，
得：
整理得：
①，
，代入①式得
，适合条件
由此得
，故长轴长的最大值为.
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