Question

【题目】已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)设函数，求函数的单调区间；

(3)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为；（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，最后根据符号变化规律确定极值（2）先求导数，再因式分解，根据因子符号确定函数单调区间（3）先求命题的否定：区间上存在一点,使得成立，转化为对应函数最值当时， ，再根据函数单调性确定函数最值，即得实数的取值范围.最后根据补集得满足条件的实数的取值范围.

试题解析：（I）当时， ，列极值分布表

在（0,1）上递减，在上递增，∴的极小值为；

（II）

①当时， 在上递增；

②当时， ，

∴在上递减，在上递增；

（III）先解区间上存在一点,使得成立

在上有解当时，

由（II）知

①当时， 在上递增， ∴

②当时， 在上递减，在上递增

当时， 在上递增， 无解

当时， 在上递减

，∴；

当时， 在上递减，在上递增

令，则

在递减， ， 无解，

即无解；

综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或.

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.