题目内容
2.(1)已知一次函数f(x)满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数f(x)的解析式.(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1时,f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式.
(3)已知2f(x)+f($\frac{1}{x}$)=2x+1,求函数f(x)的解析式.
分析 (1)由题意设f(x)=ax+b,利用f(x)满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,利用恒等式的对应项系数相等即可得出;
(2)要求二次函数的解析式,利用直接设解析式的方法,一定要注意二次项系数不等于零,在解答的过程中使用系数的对应关系,解方程组求的结果;
(3)首先,在所给的等式中,等号两边同时以$\frac{1}{x}$代x,得到一个方程组,把f(x)当做未知数,求解即可.
解答 解:(1)由题意设f(x)=ax+b,(a≠0).
∵f(x)满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,
化为ax+(5a+b)=2x+17,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$,
∴f(x)=2x+7.
(2)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
由f(0)=1得c=1,
故f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$,
所以f(x)=x2-x+1;
(3)∵2f(x)+f($\frac{1}{x}$)=2x+1,①
等号两边同时以$\frac{1}{x}$代x,
得:2f($\frac{1}{x}$)+f(x)=$\frac{2}{x}$+1,②
联立①②,
由①×2-②,解得:
f(x)=$\frac{4}{3}$x-$\frac{2}{3x}$+$\frac{1}{3}$,(x≠0).
点评 本题重点考查函数解析式的求解方法,构造法在解题中的应用,属于中档题.
A. | {小于10000的自然数} | B. | {x|0<x<1} | ||
C. | {小于10000的整数} | D. | {x|x<1} |
A. | A=B | B. | A?B | C. | B?A | D. | A∩B=∅ |