Question

20．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$（k∈R），则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件可考虑先求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$，这样便需讨论k的取值：k=0时，显然$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=1$，而k≠0时，可将${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$看成关于$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的二次函数，该函数有最小值，并容易求得最小值为$\frac{3}{4}$，从而可以得到$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值，从而可以得出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：根据条件：$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{k}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$；
（1）若k=0，则$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=1$；
（2）若k≠0，根据题意$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}∈R$；
∴${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$的最小值为$\frac{4{k}^{2}-{k}^{2}}{4{k}^{2}}=\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$的最大值为$\frac{4}{3}$；
∴此时$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
综上得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，不要漏了k=0的情况，掌握求二次函数最值的公式．