题目内容

10．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如图直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：
      年级名次
    是否近视		1～50951～1000
近视4132
不近视918
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附：
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005
k2.7063.8415.0246.6357.879

分析 （Ⅰ）利用直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
f1=0.15×0.2=0.03，f2=0.45×0.2=0.09，f3=$\frac{{{f}_{2}}^{2}}{{f}_{1}}$=0.27，…（2分）
所以由$\frac{（{f}_{3}+{f}_{6}）-4}{2}$=1-（0.03+0.09）得f6=0.17，…（4分）
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，…（5分）
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830；…（7分）
（Ⅱ）K2=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$≈4.110＞3.841，…（10分）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（12分）

点评 本题考查直方图，考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

练习册系列答案
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