Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2 ，E、F分别是AB、AP的中点．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形，

∵AB=2CD=2 ，E是AB的中点，∴OE=EA=EB= ，可得OA=OB=2．

∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA⊥OB．

∴可以建立如图所示的空间直角坐标系．

则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，0），F（1，0，1）．

∴ ， ．

∴ ，∴EF⊥AO，即EF⊥AC

（2）解：由（1）可知： ， ．

设平面OEF的法向量为 ，

则 ，得 ，令x=1，则y=z=﹣1．

∴ ．

∵PO⊥平面OAE，∴可取 作为平面OAE的法向量．

∴ = = = ．

由图可知：二面角F﹣OE﹣A的平面角是锐角θ．

因此， ．

【解析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用EF与AO的方向向量的数量积等于0，即可证明垂直；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．