题目内容
【题目】
如图所示，在正三棱柱
中，底面边长为
，侧棱长为
，
是棱
的中点.
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面的距离.
【答案】解：(Ⅰ) 连结
与
交于
，
则为的中点，
为
的中点，
为
的中位线，
//. 又
平面
，
平面//平面………………4分
（Ⅱ）(解法1)过作
于
，由正三棱柱的性质可知，
平面，连结
，在正
中，
在直角三角形
中，
由三垂线定理的逆定理可得
.则
为二面角
的平面角，
又得
，
，
∴
.故所求二面角的大小为
.………………8分
解法（2）（向量法）
建立如图所示空间直角坐标系，则
．
设
是平面
的一个法向量，则可得
，所以
即
取
可得
又平面
的一个法向量
设
则
又知二面角是锐角,所以二面角的大小是
……………………………………………………………………8分
（Ⅲ）设求点
到平面的距离
；因
，所以
，故
，而
………………10分
由
……………12分
【解析】
(Ⅰ) 连结与交于，则为的中点，
为的中点，
为的中位线，
//．又平面，平面，
//平面……… ……4分
（Ⅱ）过作于，由正三棱柱的性质可知，
平面，连结
，在正
中，
在直角三角形
中，
由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角
的平面角，又得，
，
∴
.故所求二面角的大小为.………………8分
解法（2）（向量法）
建立如图所示空间直角坐标系，则
.
设是平面
的一个法向量，则可得
，所以
即取可得
又平面
的一个法向量设则
又知二面角是锐角,所以二面角的大小是
……………………………………… ……………8分
（Ⅲ）设点到平面的距离；因，所以，故，而………… ……10分
由……… …12分
导学教程高中新课标系列答案【题目】学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的
，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的
，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的
列联表：
对教师管理水平好评 | 对教师管理水平不满意 | 合计 | |
对教师教学水平好评 | |||
对教师教学水平不满意 | |||
合计 |
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量
.
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（
，其中
）
【题目】2019年高考刚过，为了解考生对全国2卷数学试卷难度的评价，随机抽取了某学校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：
非常困难 | 一般 | |
男考生 | 20 | 30 |
女考生 | 40 | 10 |
（1）分别估计该学校男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率；
（2）从该学校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率.
【题目】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？