题目内容
【题目】棋盘上标有第、
、
、
、
站,棋子开始位于第
站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第
站或第
站时,游戏结束.设棋子位于第
站的概率为
.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋手所走步数之和
的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)求、
的值.
【答案】(1)分布列见解析,随机变量的数学期望为
;(2)证明见解析;
(3),
.
【解析】
(1)根据题意得出随机变量的可能取值有
、
、
、
,利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量
在相应取值时的概率,可列出随机变量
的分布列,由此计算出随机变量
的数学期望;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第
站跳
站得到,也可以由第
站跳
站得到,由此得出
,并在该等式两边同时减去
,可得出所证等式成立;
(3)结合(1)、(2)可得,利用累加法求出数列
的通项公式,从而可求出
和
的值.
(1)由题意可知,随机变量的可能取值有
、
、
、
.
,
,
,
.
所以,随机变量的分布列如下表所示:
所以,随机变量的数学期望为
;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第
站跳
站得到,其概率为
,也可以由第
站跳
站得到,其概率为
,所以,
.
等式两边同时减去得
;
(3)由(2)可得,
,
.
由(2)可知,数列是首项为
,公比为
的等比数列,
,
,
又,则
,
由于若跳到第站时,自动停止游戏,故有
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:
【题目】我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准.为此,对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查,获得了个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如下表及图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
25 | ||
0.19 | ||
50 | ||
0.23 | ||
0.18 | ||
5 |
(1)分别求出,
的值;
(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量;
(3)从样本中年用水量在(单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步的跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).