题目内容
【题目】棋盘上标有第
、
、
、
、
站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第
站或第站时，游戏结束.设棋子位于第
站的概率为
.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币
次后，求棋手所走步数之和
的分布列与数学期望；
（2）证明：
；
（3）求
、
的值.
【答案】（1）分布列见解析，随机变量
的数学期望为
；（2）证明见解析；
（3）
，
.
【解析】
（1）根据题意得出随机变量的可能取值有
、
、
、
，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；
（2）根据题意，棋子要到第
站，由两种情况，由第
站跳
站得到，也可以由第
站跳
站得到，由此得出
，并在该等式两边同时减去
，可得出所证等式成立；
（3）结合（1）、（2）可得
，利用累加法求出数列
的通项公式，从而可求出
和
的值.
（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
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所以，随机变量的数学期望为
；
（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为
，也可以由第站跳站得到，其概率为
，所以，.
等式两边同时减去得
；
（3）由（2）可得
，
，
.
由（2）可知，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
，
又
，则
，
由于若跳到第
站时，自动停止游戏，故有
.
【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据，问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
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【题目】我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了
个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
| 25 | |
| 0.19 | |
| 50 | |
| 0.23 | |
| 0.18 | |
| 5 |
（1）分别求出，
的值；
（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；
（3）从样本中年用水量在
（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）.
