题目内容
【题目】如图,已知棱柱的底面是菱形,且
面ABCD,
,F为棱
的中点,M为线段
的中点.
(1)求证:面ABCD;
(2)判断直线MF与平面的位置关系,并证明你的结论;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)平面
,证明见解析 (3)
【解析】
(1)连接AC、BD交于点O,再连接OM,利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质,得四边形MOAF是平行四边形,从而,所以
平面ABCD;
(2)平面
,先证明
平面
,再结合
,可得
平面
;
(3)过点B作于H,可证出
平面
,从而BH是三棱锥
的高,算出
的面积并结合锥体体积公式,可得三棱锥
的体积.
解:(1)接AC、BD交于点O,再连接OM,
中,OM是中位线,
且
,
∵矩形中,
且
,
且
,可得四边形MOAF是平行四边形,
,
平面ABCD,
平面ABCD,
平面ABCD;
(2)平面
,证明如下
在底面菱形ABCD中,,
又平面ABCD,
平面ABCD,
,
是平面
内的相交直线,
平面
,
平面
;
(3)过点B作,垂足为H,
平面ABCD,
平面ABCD,
,
是平面
内的相交直线,
平面
,
在中,
,
,
因此,三棱锥的体积
.
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