Question

【题目】已知为坐标原点，抛物线：与直线：交于点，两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）线段的中点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若直线，分别与直线交于，两点，当时，求斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据数量积求出参数的值即可得到所求方程．（2）求出点的坐标为，然后再求出点，的坐标，进而得到直线，的方程，于是得到的坐标，最后根据可求出斜率的值．

（1）由消去整理得，

∵直线与抛物线交于两点，

∴，解得或（舍去）．

设，，则，

∴，

∵，

∴，解得，符合题意．

∴抛物线方程为：．

（2）由（1）得，

∴，，

∴，

∴，中点为．

设过点斜率为的直线方程为，即，

由消去整理得，

其中，故．

设，，

则，，

直线的方程为，令，得，

∴，

同理得，

∴，

解得，满足题意．

∴斜率的值为．