Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M-AB-D的余弦值即可．

（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD,EF=AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BCEF, BC=EF

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF平面PAB，CE平面PAB，

∴直线CE平面PAB；

（2）解：四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=

=，二面角M-AB-D的余弦值为：=．