题目内容

9.在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-1)2+y2=$\frac{1}{4}$外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(1)求曲线C1的方程;
(2)已知直线l过定点P(-2,1),斜率为k,当 k为何值时,直线l与曲线C1只有一个公共点点;有两个公共点?

分析 (Ⅰ)设M的坐标为(x,y),根据M到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值,可得$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|,结合已知可知,在直线x=-$\frac{1}{2}$的右侧,从而可得曲线C1的方程;
(II)由题意可设直线l的方程为y-1=k(x+2),联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k(x+2)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得,k2x2+(4k2+2k-4)x+(2k+1)2=0,转化为方程有一个根或两个根,求解k的范围即可

解答 解:(I)由已知可得,$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|,
曲线C1的点均在C2:(x-1)2+y2=$\frac{1}{4}$外,
M在直线x=-$\frac{1}{2}$的右侧,即x>-$\frac{1}{2}$,
化简可得曲线C1的方程为y2=4x;
(II)由题意可设直线l的方程为y-1=k(x+2),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k(x+2)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得,k2x2+(4k2+2k-4)x+(2k+1)2=0;(1)
当k=0或$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=(4{k}^{2}+2k-4)^{2}-4{k}^{2}(2k+1)^{2}=0}\end{array}\right.$,
解可得,k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$;
当k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$时,直线与曲线C1只有一个公共点;
当$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=(4{k}^{2}+2k-4)^{2}-4{k}^{2}(2k+1)^{2}>0}\end{array}\right.$,
整理可得,$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{2{k}^{2}+k-1<0}\end{array}\right.$,
解可得,-1$<k<\frac{1}{2}$且k≠0
当1$<k<\frac{1}{2}$且k≠0时,直线l与曲线C1个有两个公共点.

点评 本题考查轨迹方程的求解,考查方程思想的运用,解题的关键是直线与抛物线联立,属于中档题.

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