Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）已知直线l过定点P（-2，1），斜率为k，当 k为何值时，直线l与曲线C₁只有一个公共点点；有两个公共点？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据M到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，结合已知可知，在直线x=-$\frac{1}{2}$的右侧，从而可得曲线C₁的方程；
（II）由题意可设直线l的方程为y-1=k（x+2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，转化为方程有一个根或两个根，求解k的范围即可

解答 解：（I）由已知可得，$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-\frac{1}{2}$=|x$+\frac{1}{2}$|，
曲线C₁的点均在C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$外，
M在直线x=-$\frac{1}{2}$的右侧，即x＞-$\frac{1}{2}$，
化简可得曲线C₁的方程为y²=4x；
（II）由题意可设直线l的方程为y-1=k（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x+2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得，k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0；（1）
当k=0或$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}=0}\end{array}\right.$，
解可得，k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$；
当k=0或k=-2或k=-1或k=$\frac{1}{2}$时，直线与曲线C₁只有一个公共点；
当$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（4{k}^{2}+2k-4）^{2}-4{k}^{2}（2k+1）^{2}＞0}\end{array}\right.$，
整理可得，$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{2{k}^{2}+k-1＜0}\end{array}\right.$，
解可得，-1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0
当1$＜k＜\frac{1}{2}$且k≠0时，直线l与曲线C₁个有两个公共点．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查方程思想的运用，解题的关键是直线与抛物线联立，属于中档题．