题目内容

1.已知动点P(x,y)在椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1上,若A点的坐标为(6,0),|${\overrightarrow{AM}}$|=1,且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0,则|${\overrightarrow{PM}}$|的最小值为$\sqrt{15}$.

分析 通过$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0推断出PM⊥AM,进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2-|AM|2,进而问题转化为求得|AP|最小值,计算即得结论.

解答 解:∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0,∴PM⊥AM,
∴|PM|2=|AP|2-|AM|2
又∵|${\overrightarrow{AM}}$|=1,∴|AP|越小,|PM|就越小,
设P(10cosx,8sinx),则|AP|2=(10cosx-6)2+(8sinx-0)2
=100cos2x-120cosx+36+64sin2x
=36cos2x-120cosx+100
=(6cosx-10)2
∴|AP|的最小值为$\sqrt{(6-10)^{2}}$=4,
∴|PM|的最小值为:$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$,
故答案为:$\sqrt{15}$.

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义.考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用,注意解题方法的积累,属于中档题.

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