题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)若,求
的单调区间;
(2)若,求
的极大值;
(3)若,指出
的零点个数.
【答案】(1) 的单调减区间为
;(2)
的极大值为
(3)
时,
的零点个数为0;当
时,
的零点个数为1.
【解析】试题分析:(1)求导函数,解不等式(或
)即可求解;(2)求导后分析导数何时取正,何时取负,当在
处左正右负时,
即为所求;(3)分
和
两种情况讨论,当
时易知最小值大于0,故无解,当
时,对m分区间讨论即可.
试题解析:(1)时,则
,∴
.
时,
;
时,
,
∴的单调增区间为
,
的单调减区间为
.
(2)时,
,
,设
.
,∴
在
上单调递减,在
上单调递增,且
,
又,∴
的极大值为
.
(3)当时,∵
,∴
,此时
的零点个数为0.
当时,
.
若,
,
无解;
若,
,即
,在
上
,
在上
单调递增,
单调递减,且
时,
,
,
∴有且仅有一解.
∴当时,
的零点个数为1.
综上可得, 时,
的零点个数为0;当
时,
的零点个数为1.
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