题目内容
【题目】(2015·湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【答案】（Ⅰ）Z的分布列为：
X | 8160 | 10200 | 10800 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
；（Ⅱ）0.973.
【解析】设每天
两种产品的生产数量分别为
,相应的获利为Z,
则有
目标函数为
.当
时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
。将变形为
，当
时，直线
:在
轴上的截距最大，最大获利
.当
时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为
.将变形为，当
时，直线在轴上的截距最大，最大获利
.当
时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为
.将变形为，当
时，直线:在轴上的截距最大，最大获利
.故最大获利Z的分布列为
X | 8160 | 10200 | 10800 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
因此，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率
,有二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
.
二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
