题目内容
【题目】已知定义在(﹣1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y).
(Ⅰ)求证:函数f(x)是奇函数;
(Ⅱ)如果当x∈(﹣1,0]时,有f(x)<0,试判断f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的判断;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若a﹣8x+1>0对满足不等式f(x﹣ )+f(
﹣2x)<0的任意x恒成立,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题可知,函数y=f(x)的定义域为(﹣1,1),关于原点对称;对于f(x)+f(y)=f(x+y).
令y=x=0,可得2f(0)=f(0),从而f(0)=0,
再令y=﹣x,可得f(x)+f(﹣x)=f(0)=0,即f(﹣x)=﹣f(x),
所以y=f(x)为(﹣1,1)上的奇函数;
(Ⅱ)y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,
证明如下:
设x1、x2为区间(﹣1,0]上的任意两个自变量的值,且x1<x2 ,
则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=f(x1﹣x2);
由于﹣1<x1<x2<0,所以﹣1<x1﹣x2≤0,从而f(x1﹣x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,
又由于y=f(x)为(﹣1,1)上的奇函数;
由奇函数的性质分析可得:y=f(x)为[0,1)上单调递增,
故y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,
(Ⅲ)根据题意,若f(x﹣ )+f(
﹣2x)<0,
则有f(x﹣ )<f(2x﹣
),
则必有 ,
解可得﹣ <x<
,
所以原问题等价于a﹣8x+1>0对于﹣ <x<
恒成立,
则必有a≥[8×( )﹣1]=4,即a≥4;
故a的取值范围是[4,+∞)
【解析】(Ⅰ)根据题意,先分析函数的定义域,可得其定义域关于原点对称,进而令y=x=0,可得f(0)=0,再令y=﹣x,分析可得f(﹣x)=﹣f(x),即可得答案;(Ⅱ)分析可得:y=f(x)为(﹣1,1)上单调递增,进而证明:先用定义法证明可得y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,进而结合函数的奇偶性可得y=f(x)为(﹣1,0]上单调递增,综合可得答案;(Ⅲ)根据题意,由函数的奇偶性以及单调性可得:若f(x﹣ )+f(
﹣2x)<0,则必有
,解可得x的范围,所以原问题等价于a﹣8x+1>0对于﹣
<x<
恒成立,分析可得a的取值范围,即可得答案.
【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一企业从某条生产线上随机抽取30件产品,测量这些产品的某项技术指标值,得到如下的频数分布表:
频数 | 2 | 6 | 18 | 4 |
(I)估计该技术指标值的平均数;(用各组区间中点值作代表)
(II) 若或
,则该产品不合格,其余的是合格产品,试估计该条生产线生产的产品为合格品的概率;
(III)生产一件产品,若是合格品可盈利80元,不合格品则亏损10元,在(II)的前提下,从该生产线生产的产品中任取出两件,记为两件产品的总利润,求随机变量X的分布列和期望.