题目内容

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
3
,直线l:x-y+
5
=0与椭圆C1相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是C2上不同的点,且AB⊥BC,求实数y0的取值范围.
分析:(1)因为e=
c
a
,椭圆 C1的方程可设为
x2
3c2
y2
2c2
=1
,与直线方程 x-y+
5
=0 联立,由判别式等于0解出c值,即得椭圆 C1的方程.
(2)由题意可知,点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,由直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),可得点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2),由
AB
BC
=0,可得(x2-1,y2-1)•(x0-x2,y0-y2 )=0,方程 y22+(2+y0 )y2+(2y0+16)=0 有不为2的解,故 y02-4y0-60≥0,且y0≠-6,从而解得 y0 的取值范围.
解答:解:(1)因为e=
c
a
=
3
3
,所以,a=
3
 c,b=
2
 c,椭圆 C1的方程可设为
x2
3c2
y2
2c2
=1

与直线方程 x-y+
5
=0 联立,消去y,可得 5x2+6
5
x+15-6c2=0,
因为直线与椭圆相切,所以,△=(6
5
)
2
-4×5(15-6c2)
=0,
又因为c>0,所以 c=1,所以,椭圆 C1的方程为
x2
3
+
y2
2
=1

(2)由题意可知,PM=MF2,又PM为点M到直线l1 的距离,
所以,点M到直线l1的距离与到点 F2的距离相等,
即点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,
因为直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),所以,点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2). 因为AB⊥BC,所以,
AB
BC
=0,
即 (x2-1,y2-1)•(x0-x2,y0-y2 )=0,又因为  x2=
1
4
y22
x0=
1
4
y02

所以,
1
16
 (y22-4 )(y02-y22 )+(y2-2 )(y0-y2 )=0,
因为 y2≠2,y2≠y0,所以,
1
16
(y2+2)(y0+y2)+1=0

整理可得:y22+(2+y0 )y2+(2y0+16)=0,关于 y2 的方程有不为2的解,所以
△=(2+y02-4(2y0+16)≥0,且 y0≠-6,
所以,y02-4y0-60≥0,且y0≠-6,解得 y0 的取值范围为 y0<-6,或 y0≥10.
点评:本题考查求椭圆的标准方程,直线和椭圆的位置关系的应用,式子的化简变形是解题的易错点.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网