题目内容
已知椭圆C1:x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
5 |
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是C2上不同的点,且AB⊥BC,求实数y0的取值范围.
分析:(1)因为e=
,椭圆 C1的方程可设为
+
=1,与直线方程 x-y+
=0 联立,由判别式等于0解出c值,即得椭圆 C1的方程.
(2)由题意可知,点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,由直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),可得点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2),由
•
=0,可得(x2-1,y2-1)•(x0-x2,y0-y2 )=0,方程 y22+(2+y0 )y2+(2y0+16)=0 有不为2的解,故 y02-4y0-60≥0,且y0≠-6,从而解得 y0 的取值范围.
c |
a |
x2 |
3c2 |
y2 |
2c2 |
5 |
(2)由题意可知,点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,由直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),可得点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2),由
AB |
BC |
解答:解:(1)因为e=
=
,所以,a=
c,b=
c,椭圆 C1的方程可设为
+
=1,
与直线方程 x-y+
=0 联立,消去y,可得 5x2+6
x+15-6c2=0,
因为直线与椭圆相切,所以,△=(6
)2-4×5(15-6c2)=0,
又因为c>0,所以 c=1,所以,椭圆 C1的方程为
+
=1.
(2)由题意可知,PM=MF2,又PM为点M到直线l1 的距离,
所以,点M到直线l1的距离与到点 F2的距离相等,
即点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,
因为直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),所以,点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2). 因为AB⊥BC,所以,
•
=0,
即 (x2-1,y2-1)•(x0-x2,y0-y2 )=0,又因为 x2=
y22,x0=
y02,
所以,
(y22-4 )(y02-y22 )+(y2-2 )(y0-y2 )=0,
因为 y2≠2,y2≠y0,所以,
(y2+2)(y0+y2)+1=0,
整理可得:y22+(2+y0 )y2+(2y0+16)=0,关于 y2 的方程有不为2的解,所以
△=(2+y0)2-4(2y0+16)≥0,且 y0≠-6,
所以,y02-4y0-60≥0,且y0≠-6,解得 y0 的取值范围为 y0<-6,或 y0≥10.
c |
a |
| ||
3 |
3 |
2 |
x2 |
3c2 |
y2 |
2c2 |
与直线方程 x-y+
5 |
5 |
因为直线与椭圆相切,所以,△=(6
5 |
又因为c>0,所以 c=1,所以,椭圆 C1的方程为
x2 |
3 |
y2 |
2 |
(2)由题意可知,PM=MF2,又PM为点M到直线l1 的距离,
所以,点M到直线l1的距离与到点 F2的距离相等,
即点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线,点F2为焦点的抛物线,
因为直线l1的方程为X=-1,点P的坐标为(1,0),所以,点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x.
(3)由题意可知A点坐标为(1,2). 因为AB⊥BC,所以,
AB |
BC |
即 (x2-1,y2-1)•(x0-x2,y0-y2 )=0,又因为 x2=
1 |
4 |
1 |
4 |
所以,
1 |
16 |
因为 y2≠2,y2≠y0,所以,
1 |
16 |
整理可得:y22+(2+y0 )y2+(2y0+16)=0,关于 y2 的方程有不为2的解,所以
△=(2+y0)2-4(2y0+16)≥0,且 y0≠-6,
所以,y02-4y0-60≥0,且y0≠-6,解得 y0 的取值范围为 y0<-6,或 y0≥10.
点评:本题考查求椭圆的标准方程,直线和椭圆的位置关系的应用,式子的化简变形是解题的易错点.
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