题目内容

已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-2m)<0的实数m的取值范围.
考点:函数奇偶性的性质
专题:计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:由条件可知,(x)在[0,2]内递减,即有f(x)在[-2,2]上递减,f(1-m)+f(1-2m)<0即为f(1-m)<-f(1-2m)=f(2m-1).即有
-2≤1-m≤2
-2≤2m-1≤2
1-m>2m-1
,分别解不等式,再求交集即可得到所求范围.
解答: 解:由于奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,
则由奇函数的图象关于原点对称,则f(x)在[0,2]内递减,
即有f(x)在[-2,2]上递减,
f(1-m)+f(1-2m)<0即为f(1-m)<-f(1-2m)=f(2m-1).
即有
-2≤1-m≤2
-2≤2m-1≤2
1-m>2m-1
-1≤m≤3
-
1
2
≤m≤
3
2
m<
2
3

解得-
1
2
≤m
2
3

则实数m的取值范围是[-
1
2
2
3
).
点评:本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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