Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点处切线的方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）若，证明对任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在和内是增函数，在内是减函数；（3）见解析

【解析】

（1）当时，求得，进而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解；

（2）求得函数的导数，三种情况分类讨论，即可求解．

（3）把，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

（1）当时，则函数，

则，则，

曲线在点处切线的方程为，即.

（2）由函数，则，

令，，，又，

①若，，当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

所以在区间和内是增函数，在内是减函数.

②若，，当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

所以在和内是增函数，在内是减函数.

（3）因，所以在内是减函数，又，

不妨设，则，.

于是，等价于，

即，

令，

因在内是减函数，

故，从而在内是减函数，

∴对任意，有，即，

∴当时，对任意，恒成立.