Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（3-x），0≤x≤3}\\{（x-3）（a-x），x＞3}\end{array}\right.$．
（1）求f（2）+f（4）的值；
（2）若y=f（x）在x∈[3，5]上单调增，在x∈[6，8]上单调减，求实数a的取值范围；
（3）设函数y=f（x）在区间[3，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由分段函数代入计算，可得f（2）和f（4）的值；
（2）求得二次函数的对称轴，由题意可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解不等式即可得到所求a的范围；
（3）求出二次函数的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，运用单调性，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（3-x），0≤x≤3}\\{（x-3）（a-x），x＞3}\end{array}\right.$，
可得f（2）=2×（3-2）=2，f（4）=（4-3）×（a-3）=a-3，
f（2）+f（4）=a-1；
（2）当x＞3时，f（x）=（x-3）（a-x）=-x²+（a+3）x-3a，
对称轴为x=$\frac{a+3}{2}$，
由f（x）在x∈[3，5]上单调增，在x∈[6，8]上单调减，
可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解得7≤a≤9；
（3）当x＞3时，f（x）=（x-3）（a-x）=-x²+（a+3）x-3a，
对称轴为x=$\frac{a+3}{2}$，
当$\frac{a+3}{2}$≤3，即a≤3，区间[3，5]为减区间，
x=3时，取得最大值，即有g（a）=f（3）=0；
当$\frac{a+3}{2}$≥5，即a≥7，区间[3，5]为增区间，
x=5时，取得最大值，即有g（a）=f（5）=2a-10；
当3＜$\frac{a+3}{2}$＜5，即5＜a＜7时，f（x）在x=$\frac{a+3}{2}$处取得最大值$\frac{（a-3）^{2}}{4}$．
综上可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤3}\\{\frac{（a-3）^{2}}{4}，3＜a＜7}\\{2a-10，a≥7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的运用：求函数值和单调性的判断和运用，考查二次函数的单调性和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．