Question

14．求函数f（x）=$\frac{co{s}^{5}x-cosxsi{n}^{4}x}{co{s}^{3}x-si{n}^{3}x}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系和平方差公式、立方差公式，化简整理，再分子分母同除以cos²α，再转化为关于tanx的二次方程，由判别式非负，解不等式即可得到函数的最值．

解答 解：y=f（x）=$\frac{co{s}^{5}x-cosxsi{n}^{4}x}{co{s}^{3}x-si{n}^{3}x}$=$\frac{cosx（co{s}^{4}x-si{n}^{4}x）}{（cosx-sinx）（co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x）}$
=$\frac{cosx（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）（co{s}^{2}x+si{n}^{2}x）}{（cosx-sinx）（co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x）}$
=$\frac{co{s}^{2}x+cosxsinx}{co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x}$=$\frac{1+tanx}{1+tanx+ta{n}^{2}x}$（tanx≠1），
可得ytan²x+（y-1）tanx+y-1=0，
由判别式△≥0，即（y-1）²-4y（y-1）≥0，
解得-$\frac{1}{3}$≤y≤1．
则当tanx=-2时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{3}$；
当tanx=0时，f（x）取得最大值1．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，注意运用同角的平方关系和商数关系化简整理，结合二次方程判别式非负，考查运算能力，属于中档题．