题目内容
已知定义在实数集上的函数,,其导函数记为,
(1)设函数,求的极大值与极小值;
(2)试求关于的方程在区间上的实数根的个数。
(1)设函数,求的极大值与极小值;
(2)试求关于的方程在区间上的实数根的个数。
(1)当时,极大=;当时,极小=0.;当时,极大=;无极小值
(2)对于任意给定的正整数,方程只有唯一实根,且总在区间内,所以原方程在区间上有唯一实根
(2)对于任意给定的正整数,方程只有唯一实根,且总在区间内,所以原方程在区间上有唯一实根
试题分析:解:(1)令,则
,…3分
令,得,且,
当为正偶数时,随的变化,与的变化如下:
| |||||||
0 | 0 | ||||||
| 极大值 | 极小值 |
当为正奇数时,随的变化,与的变化如下:
| |||||||
0 | 0 | ||||||
| 极大值 | |
(2),即,
所以方程为, 9分
, 10分
又,由二项式定理知:
故对于,有, 13分
综上,对于任意给定的正整数,方程只有唯一实根,且总在区间内,所以原方程在区间上有唯一实根. 14分
点评:主要是考查了函数的图像与方程根的问题的求解,利用导数来判定单调性和极值,得到,属于基础题。
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