题目内容
5．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，a1b1=3，且对任意的n∈N+，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=$\frac{（2n-1）{3}^{n+1}+3}{4}$．（Ⅰ）求数列{anbn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的首项为3，公比为3，设cn=bn+（-1）n-1λ•2an+1，且对任意的n∈N+，都有cn+1＞cn成立，求实数λ的取值范围．
分析 （I）利用递推式可得anbn；
（II）数列{bn}的首项为3，公比为3，可得bn．又anbn=n•3n（n∈N*）．k可得an，可得cn=3n+（-1）n-1λ•2n+1，由于对任意的n∈N+，都有cn+1＞cn成立，化简得（-1）n-1•λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$，对n分类讨论即可得出．
解答 解：（Ⅰ）∵对任意的n∈N+，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=$\frac{（2n-1）{3}^{n+1}+3}{4}$．
∴当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=$\frac{（2n-3）{3}^{n}+3}{4}$．
两式相减，得anbn=n•3n（n≥2），
又当n=1时，a1b1=3，适合上式，
从而得anbn=n•3n（n∈N*）．
（Ⅱ）∵数列{bn}的首项为3，公比为3，
∴${b}_{n}={3}^{n}$．
又anbn=n•3n（n∈N*）．
因此an=n，
∴cn=bn+（-1）n-1λ•2an+1=3n+（-1）n-1λ•2n+1，
∵对任意的n∈N+，都有cn+1＞cn成立，
∴3n+1+（-1）n•2n+2＞3n+（-1）n-1λ•2n+1，
化简得（-1）n-1•λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$，
当n为奇数时，λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$恒成立，∴$λ＞\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{1}$，即$λ＜\frac{1}{2}$，
当n为偶数时，$λ＞（-\frac{1}{3}）•（\frac{3}{2}）^{n}$恒成立，
∴$λ＞（-\frac{1}{3}）•（\frac{3}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$，即$λ＞-\frac{3}{4}$，
综合可得：λ∈$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{2}）$．
点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了变形能力与分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{2π}{3}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |