题目内容

（2007•崇明县一模）已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：
①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；
②存在实数k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=f（n），数列{bn}满足关系式bn=an+2+
2
，问数列{bn}中是否存在不同的3项，使之成为等比数列？若存在，试写出任意符合条件的3项；若不存在，请说明理由．
分析：（1）二次函数有最小值0，二次函数的对称轴为直线x=1，求出b，c的值，即可求出函数y=f（x）的解析式
（2）根据Sn与an的关系 an=
0
2n-3
n=1
n≥2，n∈N*
，bn=
2+
2
2n-1+
2
n=1
n≥2，n∈N*
根据等比数列性质得出p、q、r的关系方程，研究方程的解的情况作出判断．
解答：解：（1）由①得，二次函数有最小值0，故
4c-b2
4
=0（2分）
二次函数的对称轴为直线x=1，故-
b
2
=1，（4分）
即b=-2，c=1f（x）=x2-2x+1
（6分）
（2）Sn=n2-2n+1（n∈N*）∴an=
0
2n-3
n=1
n≥2，n∈N*
（2分）
∴bn=
2+
2
2n-1+
2
n=1
n≥2，n∈N*
（4分）
设数列的p、q、r（p＜q＜r）项使得bp、bq、br成等比数列．
（ⅰ）若p=1时，b1=2+
2
bq=(2q-1)+
2
，br=(2r-1)+
2

则bq2=b1•br∴[(2q-1)+
2
]2=(2+
2
)[(2r-1)+
2
]∴(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•
2
+2
2

∴
(2q-1)2+2=4r-2+2
2(2q-1)=2r-1+2
⇒
(2q-1)2+2=4r
4q-2=2r+1
①②
由于②式左边为偶数，右边为奇数，显然q、r不存在．                  （3分）
（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N*
则[(2q-1)+
2
]2=(2p-1+
2
)(2r-1+
2
)∴(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)
2

∴
(2q-1)2=(2q-1)(2r-1)
2(2q-1)=2p+2r-2
⇒p+r=2q⇒（p+r-1）2=（2p-1）（2r-1）⇒（p-r）2=0
∴p=r产生矛盾                                                       （7分）
综上所述，这样的三项不存在．                                          （8分）
点评：本题考查二次函数的性质，等比数列的定义，考查分析解决问题、分类讨论、计算等能力．
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π
6
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3
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6
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π
6
，k∈Z}
{x|x=kπ+
π
6
，k∈Z}
．
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＜0的解集是
（1，2）
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．
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a
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b
| =2，且向量
a
与
b
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c
=
a
+
b
，
d
=
a
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b
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c
⊥
d
，则k=
12
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12
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2
2
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1
9
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2008
9
2008
9
．

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