Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（3，0）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线的方程，则可表示出B，C，D坐标，根据BD=3DC求得a和c的关系，进而利用双曲线的定义以及三角形的周长建立方程组求得a，进而求得c和b，则双曲线的方程可得．
（2）在x轴上存在定点G使题设成立，设出直线l的方程，根据求得x₁-t=λ（x₂-t），把直线方程代入椭圆方程消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而求得t，则定点G的坐标可求．
解答：解：（1）解：设双曲线E的方程为，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a
∴
解之得a=1，∴
∴双曲线E的方程为．
（2）解：设在x轴上存在定点G（t，0），使．
当l⊥x轴时，由，显然成立
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，即（3-x₁，y₁）=λ（x₂-3，y₂），即3-x₁=λ（x₂-3），即
∵，，
∴?x₁-t=λ（x₂-t），将代入得2x₁x₂-（3+t）（x₁+x₂）+6t=0①
将y=k（x-3）代入方程为整理得得：（3-k²）x²-6k²x-9k²-3=0
其中k²-3≠0且△＞0，即且
代入①，得：，化简得：．
因此，在x轴上存在定点，使．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题，解决问题的能力．