Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．
（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．
解答：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于，
解得或．即k的取值范围为．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，
故没有符合题意的常数k．
点评：（1）把直线l与椭圆有两个不同的交点，转化为方程组有2个不同解．
（2）考查2个向量共线的条件．